Das Schachspiel, das All und die verbindende Mathematik

Technologische Fortschritte, neue Erkenntnisse und Fähigkeiten, wissenschaftliche und wirtschaftliche Umwälzungen, alles bewegt sich beschleunigend, ja stürzt geradezu einer nächsten Zukunft entgegen. Und wir werden mitbewegt, mitbeschleunigt wie in einem Strom in Richtung auf einen Katarakt. Dies hinterlässt ein mulmiges Gefühl, setzt uns bei allen Blogbeiträgen und Nachrichten immer wieder in Erstaunen. Bewusst oder unbewusst wird das rasante Wachstum, mit der alle Entwicklungen einhergehen, wahrgenommen.

Ich hatte des öfteren darauf hingewiesen: zeichnet man diese Bewegungen im Zeitverlauf auf, so ergeben sich Kurven, die alle eines gemeinsam haben:  die Graphen steigen sehr lange Zeit fast waagrecht linear nur schwach an, um dann ab einem bestimmten Punkt sich vermehrt zu krümmen und sehr rasch nahezu in die Senkrechte überzugehen.
Diesen immensen Anstieg macht man sich meist nur unzureichend klar. Um es deutlich zu machen, diene die „Reiskornlegende“, die vielfach in diversen Varianten erzählte Geschichte der Erfindung des Schachspiels, als staunenswertes Beispiel:

Mit diesem Schachspiel:

Schach_Reis_1 - 1

lernte ich von meinem Vater das Spiel. Das ist nun fast 60 Jahre her. Brett und Figuren und auch mein erstes Schachbuch (s. Bild) habe ich heute noch.
Doch packen wir die Figuren in die Schachtel.

Schach_Reis_2 - 1 (1)

Denn im Nachfolgenden ist einzig das Brett mit seinen 64 Feldern wichtig:

Schach_Reis_3 - 1

Schon sehr bald nach Erlernen des Zauberspiels hörte ich oder las ich über die legendäre Entstehungsgeschichte des Schachspiels. Das so oder in vielfältigen Abwandlungen immer wieder erzählt wird:

Der Brahmane Sissa Ibn Dahir, der im 3. oder 4. Jahrhundert in Indien lebte, erfand das Spiel, das noch Tschaturanga hieß, um dem tyrannischen Herrscher-könig Shihram, der sein Volk drangsalierte, spielerisch beizubringen, dass er ohne Bauern und Figuren nicht gewinnen kann. Diese „Belehrung“ gelang rasch und der König von Indien war begeistert von dem Spiel. Er bot Sissa an, sich selbst eine Belohnung für diese wunderbare Erfindung auszudenken.
Sissa erbat sich nur die Menge an Reiskörner, die man zusammenbekäme, wenn man auf das erste Feld des Brettes ein Korn, auf das nächste zwei, auf das folgende vier und dann auf jedes nächste Feld die doppelte Anzahl des vorhergehenden lege.
Das kam dem König lächerlich wenig vor, ja geradezu beleidigend wenig angesichts der Großartigkeit des neuen wertvollen Spieles.
Als man jedoch zu rechnen anfing, wurde schnell klar, dass man sehr bald in große Zahlen, ja schließlich unvorstellbare Größenordnung geriet. Und der König erkannte die Weisheit des Philosophen.

Diese wunderbare, märchenhafte Schilderung der Entstehung des Schachspiels grub sich tief in mein Gedächtnis ein und begleitete mich mein Leben lang. Die dahinterstehende glanzvolle mathematische Verdoppelungs-Folge (exponentielle Folge) verlor nie ihre Anziehungskraft.

Jahrzehnte nach dem ersten Kennenlernen der „Reiskornlegende“ nutzte ich diese Geschichte in den 1980er Jahren während eines Einführungskurses in die Programmiersprache „C“, einer sehr verbreiteten Sprache, die zu Anfangszeiten des PC die Sprache „BASIC“ abzulösen begann.
Mein Lehrbuch dazu war das berühmte C-Lehrbuch von Kernighan – Ritchie:
book-kernighan-ritchie
Unser Kursleiter stellte uns Thema/ Problemlösung für unseren ersten eigenständigen
C-Programmierversuch frei. Ich wählte die alte Schach-Reiskornlegende und setzte es in ein dialogorientiertes C-Progrämmchen um. Mit Nachhilfe des Kursleiters wurde es voll funktionsfähig und so konnte ich es auch zuhause an einem meiner ersten Heim-PCs (VOBIS) nach Laden eines C-Compilers (Übersetzerprogramm) für mein Anwendungsprogramm „Reiskornlegende“ ausprobieren. Es war so ausgelegt, dass man auf Anforderung die Feldnummer 1…64 eingab und das Programm ermittelte die Reiskornanzahl auf dem jeweiligen eingegebenem Feld.
Beim Feld 64 spuckte es diese riesige Zahl
9223372036864775808
aus. Eine Zahl mit 19 Stellen: 9.223.372.036.864.775.808
(in Worten:
Neuntrillionen-zweihundertdreiundzwanzigbilliarden-dreihundertzweiundsiebzigbillionen-sechsunddreisigmilliarden achthundertvierundsechzigmillionen-siebenhundertfünfundsiebzigtausend-achthundertundacht Reiskörner nur auf dem letzten 64.Feld.)
Die Summe der Reiskörner auf allen Feldern beträgt (die doppelte Zahl des 64.):
18.446.744.073.709.551.615 (18 Trillionen…)
Kein Wunder, dass der indische König den Belohnungswunsch von Sissa nicht erfüllen konnte und auch kein Wunder, dass die Standardtaschenrechner der achtziger Jahre mangels ausreichender Stellenanzeige diese Zahl nicht ermitteln und darstellen konnten.
Und zu dieser Zahl gelangt man durch „lediglich“ 63-malige Verdoppelung beginnend
bei 1.

Wiederum Jahrzehnte später habe ich vor kurzem, in Vorbereitung dieses Beitrages, die Zahlenverdoppelungsfolge in ein Tabellenkalkulationsprogramm (Excel) eingegeben. Excel hat längst Programmierkenntnisse (wie damals C) weitgehend überflüssig gemacht. Die Verdoppelung der Reiskörner auf dem Schachbrett:

Schach_Reis_4 - 1

ergibt in Sekundenschnelle in der Excel-Tabelle:

Schach_Reis_4a - 1

ab 50 geht es so richtig in die Vollen, und bei Verdoppelung des 50. Feldes geht Excel ein wenig in die Knie und beginnt bei einer Billiarde ein  klein wenig ungenau zu werden (Rundung auf 0 bei der letzten Stelle); Programm Numbers von Apple macht übrigens an dieser Stelle das gleiche.

Schach_Reis_4b - 1

Rasch lässt sich mit Excel die Zahlenkolonne in eine Grafik wandeln. Für die Hälfte der Felder (bis 32) zeigt sich nachstehender Verlauf:

schach_Reiskörner_5Dia2

So richtig sichtbar wird die Verdoppelung erst ab Feld 25, 26, doch dann geht es sehr  steilkurvig aufwärts zu den großen Zahlen.

Schauen wir uns mal die Grafik für alle 64 Felder an:

schach_Reiskörner_5Dia1

Ähnlicher Kurvenverlauf, die Skala ist um viele Größenordnungen gewachsen. Feld 32 hat sich zu den anderen nahe der x-Achse gereiht. Die exponentielle „Lösung“ (Explosion, Take off) vom nahezu linearen Verlauf nahe der x-Achse beginnt erst bei Feld 55, 56, aber dann mit größerer Steilheit als in der Grafik mit den 32 Feldern in den Trillionenbereich.

Da sich kein Mensch diese Größenordnungen richtig vorstellen kann, muss man zu plastischen Beispielen greifen, um diese Zahlen begreifbar zu machen. Viele gute Beispiele finden sich im Netz. Gut gefallen hat mir diese filmische Darstellung der Reiskornlegende auf YouTube. Sogar google maps wurde zu Hilfe genommen, um die resultierende „dreidimensionale Bedeckung“ Deutschlands darzustellen:

 

Noch nicht beeindruckt von der Wucht exponentiellen Wachstums?

Ich werde mal ein eindimensionales Vergleichsbeispiel geben: Nehmen wir an, die  Reiskörner seien alle nur 1mm lang (um einfacher zu rechnen) und wir legen die Reiskörner nicht aufeinander sondern hintereinander, sodass sie eine wachsende Strecke bilden.
Nach der Hälfte der Schachfelder (32) erhalten wir eine 2.147 km lange Reiskornstrecke.
Zwischen dem 40. und 41. Feld erreichen wir mit unserer Reiskörnerkette bereits den Mond (ca. 400.000 km).
Mit dem 49. Feld sind wir schon bei der Sonne angelangt (Ca. 150 Millionen Kilometer).
Ab da rechnen wir der Einfachheit halber mit einer anderen Einheit: die Astronomen haben die mittlere Entfernung von der Erde zur  Sonne (149.597.870 km) als 1 Astronomische Einheit (AE) festgelegt.
Alle Reiskörner auf allen 64 Feldern erreichen hintereinander gelegt, die Hälfte der Entfernung zu Proxima Centauri dem nächsten Stern (ca. 266.000 AE).
Natürlich erreichen wir Proxima Centauri wg. Verdoppelung bereits nach 65 Feldern (zweites Schachbrett daneben gelegt). Das Licht braucht dazu mehr als vier Jahre.
Sehr rasch mit nur wenigen Schachfeld-Reiskörner-Verdoppelungen durcheilen wir nun die Milchstraße und anschließend einige überschaubare Felder weiter kommen wir an den Rand unseres sichtbaren Universums. Die Entfernung zu dem Rand dieses sichtbaren Universums wird von den Astronomen mit 46,6 Milliarden Lichtjahre angegeben. Ein schönes künstlerisches Abbild gibt es bei Wikipedia zu sehen.

Schwirrt ein wenig der Kopf? Ok, dann ist mein Ziel erreicht: Ich wollte verdeutlichen, welche Wucht diese Verdoppelungskurve in sich trägt. Man kann sich die Auswirkungen dieser Explosion kaum groß genug ausmalen.
Übertragen wir nun diese exponentielle Kurvenform, die Verdoppelungsthematik  auf die Vermehrung unseres Wissens und die Entwicklungen unserer Technologien, auf die Kapazitäten und Rechengeschwindigkeit unserer Computer, so können wir ahnen, was uns bevorsteht. Dass der Kurvenverlauf so erfolgt, ist ohne Zweifel. Einzig offen ist die Frage, an welcher Stelle, auf welchem „Feld“ wir aktuell stehen und wie nahe wir dem „Take Off“ sind.
Verschärft wird die Entwicklung zudem noch durch zunehmende, beeinflussende Triggerung bisher getrennter Themenfelder und durch sich generell verkürzende Zeitverläufe für den Verdopplungsablauf.
Eine wachsende Zahl von Wissenschaftlern hält einen „Take Off“ bei der Künstlichen Intelligenz innerhalb der nächsten Dekade für wahrscheinlich. Das heißt, die wichtigste Weggabelung für die Menschheit liegt noch in unserem Lebenserwartungshorizont.
Wir müssen darüber nachdenken und reden!

Leonardo

mehr Lesen? weiterführende links: empfehlenswerter Blog von Tim Urban:

The AI Revolution: The Road to Superintelligence

 

 

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